光学图像加密中级联相位恢复算法的应用

如何给光学图像加密，今天我们提出了一种用级联相位恢复算法把待加密图像综合到2块随机相位板(RPM)之中从而实现图像加密的技术。该算法利用同时调整2块RPM的相位分布的搜索策略，扩大搜索空间，能得到质量非常高的解密图像。

一、级联相位恢复算法

为表述方便，把待加密的图像表示为f(x，y)，如图1所示。在加密系统中，希望设计出2块RPM板exp[jb(x，y)]和exp[jp(u，v)]，其中(x，y)表示空间域坐标、（u，v）表示频谱域坐标，分别置于4-f系统的输入平面和Fourier平面，使得在理想情况下，当系统以平面相干光输入时得到振幅为f(x，y)的输出。换句话说，这相当于把待加密图像f(x，y)综合到相位函数exp[jb(x，y)]和exp[jp(u，v)]中。因此，输入、输出平面之间的关系可以表示为：

其中，F和F-1分别表示Fourier变换和逆Fourier变换；exp[jq(x，y)]是优化后输出平面上的相位。于是，加密f(x，y)的问题就相当于寻找方程(1)的解exp[jb(x，y)]、exp[jp(u，v)]以及exp[jq(x，y)]。这实际上是一个级联相位恢复问题，即根据输入输出的振幅约束来恢复输入输出以及频谱平面的相位。与典型的相位恢复问题类似，该问题也可用迭代算法求解。

级联相位恢复算法主要在输入平面、频谱平面以及输出平面之间根据方程(1)所表示的正向变换及其与此相反的反向变换来回迭代，以约束函数[平面波和图像f(x，y)]对每次迭代过程中在输入、输出平面上得到的复函数作振幅调制而保留相位。当一次迭代完成后，在输入平面所得到的相位作为该平面上RPM的相位，正、反向变换到频谱平面上所得到的相位差作为该平面上RPM的相位。然后以这2个相位开始下一次迭代，以此循环，直到满足评判标准。

评判标准可以定义为当前次迭代所得的fk(x，y)与f(x，y)的均方差。

但是对于加密，更恰当的评价标准是fk (X，y)与f(x，y)的相关度。因为在很多时候，需要对解密图像进行相关识别，这就需要做相关运算。相关度可以用相关系数:

来衡量。式中，Cov（f，fk）是fk (X，y)与f(x，y)的协方差，其为:

σf是f (x，y)的方差，其有:

式中E(*)是数学期望。

二、计算机模拟结果

为验证算法的有效性，在计算机模拟中，我们尝试把图1综合成2个相位函数。即通过设计2块RPM，置于4-f系统的相应位置上，得到振幅如（或非常近似于）图1分布的输出。假定以振幅为1的平面波入射，同时使待加密图像的总能量与输入平面的能量相等，并且设计的RPM都具有连续相位分布。光波的波长与透镜的焦距都归并到正、逆Fourier变换的因子中以方便实现快速Fourier算法。输入输出以及频谱平面都具有相同的孔径，并且都采样成256×256。

算法开始时，先把b(x，y)和p(u，v)均初始化为在0～2π之间均匀分布的随机阵列，使它们具有白噪声分布，然后按照算法流程来回迭代。在迭代过程中，始终保持输入平面的能量不变。我们发现，算法的收敛速度非常快，只需要经过少数几次迭代，就能够迅速找到非常好的解，使得均方差的数量级减少到10 -18，相关系数也从O迅速增大到超过0. 99。迭代100次时所得到的相位exp[jb(x，y)]和exp[jp（x，y）]分别如图2和图3所示[要注意；这里显示的实际上是b(x，y)和p（u，v）除以2π以后的值]。这相当于把图1加密成这2个相位函数。它们的直方图分别如图4所示。这显示它们中各灰度像素点的数目基本相等，满足O～1之间的均匀分布，表明加密效果很好。当正确的exp[jb(x，y)]和expEiP(u，v)]都放在恰当的位置时，在4-f系统的输出平面上检测到的图像如图5所示。比较图1和图5可以发现，它们之间已经没有明显的差别，实际上，均方差已经减小到10 -18量级。这表明解密图像的质量非常高，这种程度的解密图像，是只优化1块相位板的算法所无法得到的。换句话说，以这种算法加密的图像，在知道密钥的情况下，能够得到很精确的解密。

对于一个安全系统来说，除了要求在拥有密钥时能够很容易得到解密图像，还有一个更重要的要求，就是应该能够抵抗非法解密。这有非常重要的实际意义。图6显示的是以不正确的exp[jp(u，v)]解密时得到的图像。显然，只能得到噪声，与图1的相关程度非常低。在计算实例中，相关系数只有0. 001 4，即无法解密。当以不正确的exp[jb(x，y)]尝试解密时得到的输出与图6类似，其中一个计算实例表明，它与原始图像的相关系数只有0. 007 4，也无法解密。实际上，exp[jb(x，y)]与exp[jp (u，v)]都是通过优化算法优化产生的，而不是用随机数产生器产生的随机序列，不能匹配。因此，当用后者替换前者尝试解密时，必然会失败，从而保证了系统的安全性。