图像置乱加密技术中FAN变换的应用

在数字水印技术中，常采用Arnold变换对水印图像进行置乱，但Amold变换仅给出了一种形式，而这种形式是公开的，故降低了其安全性。为此我们提出了一种包含有无穷种变换的FAN变换集合，而Arnold变换仅是其中的一个特例。

一、图像置乱加密技术

图像置乱作为一种加密技术，已成为数字图像安全传输和保密存储的重要手段之一。所谓置乱，就是利用数字图像具有的数字阵列的特点，搅乱图像中像素的位置或颜色使之变成一幅杂乱无章的图像，达到无法辨认出原图像的目的。代表版权信息的水印多为图像水印，因此在水印的预处理和后处理阶段，可以通过置乱去除水印图像像素间的相关性，分散错误比特的分布，从而提高水印的鲁棒性。在图像文件加密中，置乱技术主要关心的是加密强度或解密难度。而在水印技术中，应该重点考虑：

（1）图像的置乱效果尽可能好。

（2）图像置乱和复原的开销（时间和计算量）尽可能少。

目前人们用得较多的置乱技术有基于Arnold变换、幻方变换、分形Hilbert曲线、Gray码变换、混沌序列等方法。其中，Arnold变换算法简单且易于实现，在数字水印方面得到了很好的应用嗍。该文分析了Arnold变换的特点，提出了FAN变换的一般形式，从而扩大了变换的种类。

Arnold变换是V.I.Arnold在研究环面上的目同态时提出的—种变换，俗称猫脸变换。将其应用于数字图像，定义如下：

其中，(x，y)是像素在原图像的坐标，(x’，y’)是变换后该像素在新图像的坐标．N是数字图像矩阵的阶数，即图像的大小，一般考虑正方形图像。记变换中的矩阵为A，反复进行这一变换，则有迭代程序：

Arnold变换可以看作是裁剪和拼接的过程，通过这一过程将数字图像矩阵中的点重新排列，达到置乱的目的。由于离散数字图像是有限点集，对图像反复进行Arnold变换，迭代到一定步数时，必然会恢复原图，即Arnold变换具有周期性。F.J.Dyson和H.Falk给出了对于任意N>2，Arnold变换的周期TN≤N2J2的结论回。显然，此周期值的上界估计较为粗糙，对实用的指导价值不大。结果如表1所示。可以发现，Arnold变换的周期与图像大小有关，随N的增大而增长。

二、FAN变换的基本原理

所谓变换，必须是具有一一对应特性的映射，这样才能存在唯一逆映射，从而构成变换，而图像位置的变换还要求是二维的正整数型变换，因目前图像的点位置(x，y)均在x，y取正整数处。

如果把Arnold变换看成是一种对图像点坐标的变换中的一种，那是否还有其他的坐标变换呢？如果将Arnold变换中去掉对N的取余数，则将NxN图像中的点影射到2Nx3N图像中，由于该变换是线性且一—对应的，故存在反变换，而变换后的点坐标在每个NxN方阵中都不重复，所以可以用对N取余算法(mod N)将2Nx3N的图像压缩到NxN内，因此，如果新设计的变换的点坐标在每个NxN方阵中都不重复，都可以用对N取余算法(mod N)将变换后的图像压缩到NxN内。这样—来问题就转化为是否可以找到满足上述条件的变换及其逆变换。答案是肯定的，且这样的变换有无穷多种，称之为FAN变换。

考虑对N阶方阵图像正变换的一般表达方式：

其中，

K的作用是防止出现负整数。当变换矩阵的秩是2时，存在唯一的反变换，其—般表达式为：

其中，K的作用同j洋魁为了保证位置坐标x’、y’为正整数。二阶矩阵求逆很容易，对正变换

x=t∞xx’+tmxy’

及y=tloxx’+tnxy’

有反变换：

简记为：

显然，为了使正反变换的系数均为整数，只要做到：

至此，定义FAN变换集合如下：

其中：

其中：

满足FAN变换中式(9)是比较容易的，在Amold变换中，too=l，tol=l，tro-l，tII=2，此时tooxtIi-toixtio=l，满足FAN变换的条件，是FAN变换集合中的一个特例。下面是—些FAN变换的例子：

用表格表示低位数的几个例子如表2：

从表2的例子可以看出，逆变换矩阵也有：rooxr1rro1xr10=+-1的关系，故将上例中的逆变换与正变换交换，形成的置乱变换仍然成立。此关系可以证明如下：

如果式(9)成立，则有：

如果式(10)成立，则有：

综合式(14)(15)，得证：

由于式(16)及式(13)均是不定方程，可以有无穷多组变换作为解，故FAN变换有无穷多组变换，是一个变换集合。

反复进行FAN变换，可以表达为式(2)，FAN变换同样有周期性，下面以图像变换的结果进行实力验证。

三、图像FAN变换置乱

设水印图像为图1，扩展为N=92矩形如图2。

进行10次too=2，to1=1，t1o=3，t11=2的FAN变换后的图像为图3：

当进行到44次时，又恢复了原图像。表3是对不同的N及不同的FAN变换，其循环恢复的次数。

实用中，由于正变换和反变换的计算量是相同的，故当对水印进行置乱时，如次数少于循环周期数的一半时，用反变换·陕复原图像可以减少工作量。反之，用正变换更快。

由于破解置乱的难度与变换的种类数相关，FAN变换集合有无穷多的变换元素，这将大大增加加密的强度。对彩色图像，可以直接做FAN变换，也可以对RGB三基色选不同的FAN变换，从而更难破解。对彩色图像用FAN变换置乱的例子如图4：

用FAN变换矩阵(8，5，11，7)，变换2次的结果如图5：

为了进一步提高图像加密的强度，还可以每次变换采用不同的变换矩阵，恢复时用对应的逆变换即可。这样加密，其加密强度将和变换次数的阶乘成正比，强度很高极难破解。

实测中发现这样—个特点，当变换中矩阵系数取值大时，置乱的效果比系数取值小时显著，观察图6~图9。

用Arnold变换矩阵(1112)，变换2次的结果如图6；用FAN变换矩阵(2132)，变换2次的结果如图7：

用Arnold变换矩阵(1112)，变换3次的结果如图8；用FAN变换矩阵(2132)：变换3次的结果如图9：

可以观察到由于系数值大，移位多，其置乱效果显著。