随着加解密技术研究的不断深入和混沌学的继续发展,低维度混沌序列加密已经出现了一些破解攻击方法,信息的安全得不到保证。高维度混沌因为具有高周期性,更好的随机性和大复杂度,可以提供更好的加密效果,更好地保证图像信息的安全性,因此结合高维度混沌序列的加密算法成为研究热点。我们在研究二维Henon映射和三维Rossler混沌映射的基础上,提出了一种基于Henon映射和Rossler混沌映射的数字图像加密算法。

一、 Henon映射

典型的二维Henon映射离散非线性动力系统:

基于Henon映射和Rossler混沌映射的数字图像加密

其中α,β为系统参数。当α=1.4,β=0.3,系统(1)处于混沌状态。此时,最大Lyapunov指数等于0.418。当β=1时,系统在运动中保持相平面积不变,描述的是保守系统:当β<1时,系统在运动中相平面积缩小,是耗散系统。大量的研究表明,在非线形耗散系统中有混沌并伴有混沌吸引子,在非线形保守系统中也有混沌,只是没有混沌吸引子。

二、Rossler混沌映射

Rossler系统是非线性动力学中最有名的方程之一,有着广泛的物理背景和工程背景。三维Rossler混沌映射的动力学系统模型如下:

基于Henon映射和Rossler混沌映射的数字图像加密
其中a,b,c为系统参数。当a=0.2, b=0.2,c=5.7时,系统(2)处于混沌状态。

在加密系统中,Rossler混沌映射与低维混沌映射相比有如下特点:

(1)系统结构更为复杂,因此由此生成的实数序列更难以预测,使得其应用极为灵活;

(2)实际应用中,低维混沌系统会出现周期退化问题,因此容易受到系统模型重构的攻击,而高维混沌系统其运算掩盖了混沌子序列的分布特性,改变了混沌系统的动力学行为,能够有效抵抗模型重构的攻击;(3)由于对初始值敏感,而初始值基本上是无精度的,因此密钥空间远远大于低维系统。

Rossler混沌映射是一个偏微分方程组,因此在应用到图像加密系统之前先要将其离散化转变为实数序列。利用Euler法或四阶经典Runge-Kutta方法(简称RK法)求解出Rossler方程组的实值解是目前较常用的两种方法。 RK方法因为求解精度相对较高,因此本文采用的是四阶经典RK方法求解Rossler混沌映射方程组解。

三、基于Henon映射和Rossler混沌映射的加密算法

本文提出的基于Henon映射和Rossler混沌映射的数字图像异或加解密算法是一种置换型的图像加密算法,经过两次加密后图像中的各像素值都由新的像素值所替换,使得加密后图像的像素分布发生变化。记原始图像为明文矩阵On,由Henon映射和RossLer混沌映射的离散化产生的实数序列为{Kn},相应的密钥矩阵为Cn,加密后的图像密文矩阵为En,选取Henon映射的初始值组[U0,Vo]作为数字图像一次加密的密钥组;选取Rossler混沌映射中的初始值组[Xo,Yo,Zo]以及RK算法中的控制变量步长h-起构成数字图像二次加密的密钥组[Xo,Yo,Zo,h];选取BMP格式图像来论述该算法。

1、基于Henon映射和Rossler混沌映射的异或加密算法

基于Henon映射和Rossler混沌映射的异或加密算法过程如下:

(1)打开原始的BMP图像文件,顺序读取图像中各点像素值,得到原始图像的像素矩阵On;

(2)根据Henon映射方程,输入混沌系统的参数α,β和初始条件U0,Vo,作为图像一次加密密钥,生成Henon混沌加密序列{Ku},{Kv};

(3)将{Ku},{Kv}混沌序列值乘以256,然后取整数部分作为新的序列值,再分别各自重新组成和原始图像同样大小的矩阵Cu,Cv;

(4)将矩阵Cu,Cv中的元素与原始图像的像素矩阵On。先后做按位异或处理,即通过式子En=On+Cu+Cv,获得Henon加密后的图像矩阵En;

(5)根据原始图像大小,选取Rossler混沌映射的密钥组[Xo,Yo,Zo,h],通过RK法求解出与原始图像像素个数相同的Rossler混沌映射的离散化实数序列{Kx},{Ky},{Kz};

(6)先分别取出序列{Kx},{Ky},{Kz}中各值的小数部分乘以256,然后取乘积结果的整数部分,再将每个元素转化为8位二进制数,最后分别各自重新组成和原始图像同样大小的矩阵Cx,Cy,Cz;

(7)将新矩阵Cx,Cy,Cz中的元素与Henon一次加密后的图像矩阵En中的相应元素做按位异或处理,即按照式子基于Henon映射和Rossler混沌映射的数字图像加密进行处理,处理后得到Rossler混沌映射二次加密的
图像矩阵En';

(8)将矩阵En'。按照图像标准格式不经压缩地保存下来,即为需求的最终加密图像。

图1为“微上理”原始图像,图2显示的是经过两次加密后得到的加密图像效果图。其中Henon映射一次加密时所选取的初始值组为[0.39895,0.40102],Rossler混沌映射二次加密时所选取的密钥组为[0.98786,1.01023,0.99785,0-01]。通过比较图1和图2可以看出:加密后的图像变得杂乱无章,面目全非,无法从中读取任何信息。这样就对原始图像所包含的信息进行了有效的保护。图3是原始图像的直方图;图4是二次加密后图像的直方图。通过比较图3和图4可以看出图像文件加密后的每个像素点分布得更加均匀,充分说明该算法是一种置换型加密算法,并且具有很好的加密效果。

基于Henon映射和Rossler混沌映射的数字图像加密四、基于Henon映射和Rossler混沌映射的解密算法

解密算法是加密算法的逆运算,其主要步骤如下:

(1)打开加密图像文件,顺序读取图像中各点像素值,得到加密图像的像素矩阵En';

(2)利用加密时使用的Rossler混沌映射的密钥组,根据加密图像大小通过RK法求解出与其像素个数相同的RossLer混沌映射的离散化实数序列{Kx},{Ky},{Kz};

(3)先分别取出序列{Kx},{Ky},{Kz}中各值的小数部分乘以256,然后取乘积结果的整数部分,再将每个元素转化为8位二进制数,最后分别各自重新组成和原始图像同样大小的矩阵Cx,Cy,Cz;

(4)将新矩阵Cx,Cy,Cz中的元素与加密图像的像素矩阵On中的相应元素分别做按位异或处理,即按照式基于Henon映射和Rossler混沌映射的数字图像加密进行处理,得到Rossler混沌映射解密后的新矩阵On';

(5)根据Henon映射方程,输入混沌系统的参数α,β和初始条件U0,Vo,作为图像二次解密密钥,生成Henon混沌解密序列{Ku},{Kv};

(6)将{Ku},{Kv}混沌序列值乘以256,然后取整数部分作为新的序列值,再分别各自重新组成和原始图像同样大小的矩阵Cx,Cy,Cz;

(7)将矩阵Cu,Cv中的元素与步骤(4)得到的Rossler混沌映射解密后的矩阵On'。先后做按位异或处理,即通过式子基于Henon映射和Rossler混沌映射的数字图像加密,处理后获得Henon二次解密后的图像矩阵On;

(8)将矩阵On按照图像标准格式不经压缩地保存下来,即为需求的最终解密图像。

对图2所示的加密图像进行解密,得到正确解密的图像如图5所示。将图1和图5所示的两幅图像进行按位异或处理,得到一幅像素值全为0的全黑图像如图6所示,表明解密得到的图像与原始图像完全一样,也证明解密是无损的。

基于Henon映射和Rossler混沌映射的数字图像加密

五、基于Henon映射和Rossler混沌映射的数字图像加密安全性分析

整个算法的安全性通过以下两个方面来进行分析:

(1)密钥有效精度:

由于二维Henon映射和三维Rossler混沌映射不仅具有对初值极度敏感的特性,使混沌系统更为复杂,并且扰乱了动力系统中的运动行为,所以只要选取的解密密钥组与加密密钥组有任何细微的区别,都不可能正确解密加密图像,并对系统模型重构攻击有很强的免疫力。理论上密钥组的精度是没有限制,但受到实际操作中计算机精度的限制,如果使用的计算机精度越高,则密钥空间就越大。

(2)像素有效位:

在进行按位异或操作之前,每个像素值都要转化为8位二进制数,因此精确解密一个像素值要进行大概255次操作。如果要精确解密一个大小为M×N的矩阵用本文提出的加密算法进行加密的数字图像,则大概需要尝试(255M+N)5次。

因为Henon映射和Rossler混沌映射都是混沌系统,因此混沌系统具有的生成值空间数目众多并且互不相关、对初值极度敏感等特性二者都具备。又因为Rossler混沌映射属于高维混沌系统,具有更好的随机性和更强的对模型重构攻击抵抗性,同时具有比低维混沌系统更好的复杂性,也容易产生出保密性更好的密钥空间,能够用在数字图像加密和解密中,产生具有安全性更高的密码系统。

小知识之Lyapunov指数

Lyapunov指数是衡量系统动力学特性的一个重要定量指标,它表征了系统在相空间中相邻轨道间收敛或发散的平均指数率。对于系统是否存在动力学混沌, 可以从最大Lyapunov指数是否大于零非常直观的判断出来: 一个正的Lyapunov指数,意味着在系统相空间中,无论初始两条轨线的间距多么小,其差别都会随着时间的演化而成指数率的增加以致达到无法预测,这就是混沌现象。